秋实-Allenyou的小窝

前言

矩阵是线性代数的内容，在 OI 竞赛中有广泛运用。

常见知识点：

• 矩阵乘法
• 矩阵快速幂
• 矩阵加速递推

定义

• 矩阵: 类似一个$r\ast c$的二维数组。
• 方阵: 一个$n\ast n$的矩阵。
• 矩阵乘法: 将一个$a\ast c$的矩阵$A$和一个$c\ast b$的矩阵$B$相乘，得到一个$a\ast b$的矩阵$C$。$C_{i,j}=\sum A_{i,k}\ast B_{k,j}$

C++定义

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct matrix {
private:
    int **a; // 二维数组指针
    int r, c;  // r * c 矩阵
public:
    matrix(int m, int n) {
        r = m;
        c = n;
        a = new int*[r]; // 动态二维数组
        for (int i = 0; i < r; i++) {
            a[i] = new int[c];
            for (int j = 0; j < c; j++) {
                a[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    int &at(const int &x, const int &y) { return a[x][y]; }
    int &row() { return r; }
    int &cal() { return c; }
    // 重载赋值运算符
    void operator=(matrix M) {
        r = M.row();
        c = M.cal();
        a = new int*[r];
        for (int i = 0; i < r; i++) {
            a[i] = new int[c];
            for (int j = 0; j < c; j++) {
                a[i][j] = M.at(i, j);
            }
        }
    }
    // 重载矩阵乘法
    matrix operator*(matrix &M) {
        matrix t(r, M.cal());
        for (int i = 0; i < r; i++) {
            for (int j = 0; j < M.cal(); j++) {
                int p = 0;
                for (int o = 0; o < c; o++) {
                    p += a[i][o] * M.at(o, j);
                }
                t.at(i, j) = p;
            }
        }
        return t;
    }
    // 输出矩阵
    void print() {
        for (int i = 0; i < r; i++) {
            for (int j = 0; j < c; j++) {
                printf("%d ", a[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
};
// 矩阵快速幂
matrix quickpow(matrix mat, int n) {
    matrix base = mat, ans = mat;
    --n;
    while (n) {
        if (n & 1) {
            ans = ans * base;
            --n;
        }
        base = base * base;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

用途

加速递推

比如 Fibonacci 的递推就可以用这个加速。

Fibonacci 第 n 项

定义$f(n)$为$Fibonacci$数列的第$n$项。

则$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$​

$f(1)=1,f(2)=1$

可推出

$f(n)=1\ast f(n-1)+1\ast f(n-2)$

$f(n-1)=1\ast f(n-1)+0\ast f(n-2)$

由矩阵的定义可得到

$$\left[\begin{array}{c}S(n)\\ f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}S(n-1)\\ f(n-1)\\ f(n-2)\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}S(n)\\ f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}\ast \left[\begin{array}{c}f(1)\\ f(2)\\ f(1)\end{array}\right]$$

然后就可以用矩阵快速幂愉快地加速啦^_^

Fibbonacci 前 n 项和

定义$f(n)$为$Fibonacci$数列的第$n$项。

则$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$

$f(1)=1,f(2)=1$

定义$S(n)$为$Fibonacci$数列前$n$项之和。

则$S(n)=f(1)+f(2)+\cdots +f(n)=S(n-1)+f(n)$

可推得

$S(n)=S(n-1)+f(n)=1\ast S(n-1)+1\ast f(n-1)+1\ast f(n-2)$

$f(n)=0\ast S(n-1)+1\ast f(n-1)+1\ast f(n-2)$

$f(n-1)=0\ast S(n-1)+1\ast f(n-1)+0\ast f(n-2)$

由矩阵定义可得

$$\left[\begin{array}{c}S(n)\\ f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}S(n-1)\\ f(n-1)\\ f(n-2)\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}S(n)\\ f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}\ast \left[\begin{array}{c}f(1)\\ f(2)\\ f(1)\end{array}\right]$$

其他

待补充我还不会