矩阵学习笔记

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Allenyou1126

2019 年 10 月 12 日

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2957字数

## 前言

矩阵是线性代数的内容，在OI竞赛中有广泛运用。
常见知识点：

- 矩阵乘法
- 矩阵快速幂
- 矩阵加速递推

## 定义

- 矩阵: 类似一个$r * c$的二维数组。
- 方阵: 一个$n * n$的矩阵。
- 矩阵乘法: 将一个$a * c$的矩阵$A$和一个$c * b$的矩阵$B$相乘，得到一个$a * b$的矩阵$C$。
  $C_{i,j} = \sum{A_{i, k} * B_{k, j}}$

## C++定义

```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct matrix {
private:
	int **a; // 二维数组指针
	int r, c; // r * c 矩阵
public:
	matrix(int m, int n) {
		r = m;
		c = n;
		a = new int*[r]; // 动态二维数组
		for (int i = 0; i < r; i++) {
			a[i] = new int[c];
			for (int j = 0; j < c; j++) {
				a[i][j] = 0;
			}
		}
	}
	int& at(const int &x, const int &y) {
        return a[x][y];
    }
	int& row() {
		return r;
	}
	int& cal() {
		return c;
	}
    // 重载赋值运算符
	void operator=(matrix M) {
		r = M.row();
		c = M.cal();
		a = new int*[r];
		for (int i = 0; i < r; i++) {
			a[i] = new int[c];
			for (int j = 0; j < c; j++) {
				a[i][j] = M.at(i, j);
			}
		}
	}
    // 重载矩阵乘法
	matrix operator*(matrix &M) {
		matrix t(r, M.cal());
		for (int i = 0; i < r; i++) {
			for (int j = 0; j < M.cal(); j++) {
				int p = 0;
				for (int o = 0; o < c; o++) {
					p += a[i][o] * M.at(o, j);
				}
				t.at(i, j) = p;
			}
		}
		return t;
	}
    // 输出矩阵
	void print() {
		for (int i = 0; i < r; i++) {
			for (int j = 0; j < c; j++) {
				printf("%d ", a[i][j]);
			}
			printf("\n");
		}
	}
};
// 矩阵快速幂
matrix quickpow(matrix mat, int n) {
	matrix base = mat, ans = mat;
	--n;
	while (n) {
		if (n & 1) {
			ans = ans * base;
			--n;
		}
		base = base * base;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}
```

## 用途

### 加速递推

比如Fibonacci的递推就可以用这个加速。

#### Fibonacci第n项

定义$f(n)$为$Fibonacci$数列的第$n$项。
则$f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)$
$f(1) = 1, f(2) =1$
可推出
$f(n) = 1 * f(n - 1) + 1 * f(n - 2)$
$f(n - 1) = 1 * f(n - 1) + 0 * f(n - 2)$
由矩阵的定义可得到
$\begin{bmatrix}f(n)\\f(n - 1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}f(n - 1)\\f(n - 2)\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}f(n)\\f(n - 1)\end{bmatrix} = {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n - 2} * \begin{bmatrix} f(2) \\f(1)\end{bmatrix}$
然后就可以用矩阵快速幂愉快地加速啦\^_\^

#### Fibbonacci前n项和

定义$f(n)$为$Fibonacci$数列的第$n$项。
则$f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)$
$f(1) = 1, f(2) =1$
定义$S(n)$为$Fibonacci$数列前$n$项之和。
则$S(n) = f(1) + f(2) + \cdots + f(n) = S(n - 1) + f(n)$
可推得
$S(n) = S(n - 1) + f(n) = 1 * S(n - 1) + 1 * f(n - 1) + 1 * f(n - 2)$
$f(n) = 0 * S(n - 1) + 1 * f(n - 1) + 1 * f(n - 2)$
$f(n - 1) = 0 * S(n - 1) + 1 * f(n - 1) + 0 * f(n - 2)$
由矩阵定义可得
$\begin{bmatrix} S(n) \\ f(n) \\ f(n - 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} S(n - 1) \\ f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} S(n) \\ f(n) \\ f(n - 1) \end{bmatrix} = {\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}^{n - 2} * \begin{bmatrix} f(1) \\ f(2) \\ f(1) \end{bmatrix}$

### 其他

待补充~~我还不会~~

最后修改：2020 年 12 月 31 日 09 : 28 PM

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